为什么当三角形周长一定时，正三角形面积最大？

假设三条边分别为A,B,C，分别对应的顶点为a,b,c,
当周长L固定后，假设边长A固定时，
那么B+C=L-A，满足条件的顶点a轨迹为一个椭圆，圆心在边长A的两个顶点b,c上，容易得到以A为底，三角形的高最高时是在A的中垂线上，所以A固定时，面积最大时B=C。
同理可证B固定时，面积最大时A=C
所以当三角形周长一定时，面积最大时，A=B=C

证明：

设三角形ABC三个角分别是A,B,C，分别对应边a,b,c.周长为L则a+b+c=L

由正弦定理得三角形外接圆半径为R=c/sinC

所以面积 S= absinC/2 = abc/2R

由
abc<=[(a+b+c)/3] 立方

（这个公理不知道你知道不？跟ab<=[(a+b)/2]平方一 个道理，展开就能证明了）

得 abc<= (L/3)立方

可以看出abc的最大值是当a=b=c时，三角形是正三角形

证毕

设周长为l，取p=l/2
根据海伦-秦九韶公式
面积S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
根据基本不等式即可得出，当a=b=c=l/3时，S最大

证明：
三角形三边分别为a,b,c
设c为底边
当a=b=c时h=c/2
所以s=1/2*h*c=(c*h)/2
当a,b,c不相等时h所以s'(c*h)/2
当底边一定时
等边三角形的高最大
所以
周长一定时等边三角形面积最大
希望帮到你，不懂追问哦