面包币 > 已知函数 f(x)=|1- 1 x | ，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅱ

已知函数 f(x)=|1- 1 x | ，（x＞0）．（Ⅰ）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求证：ab＞1；（Ⅱ

2025-05-08 01:13:08

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回答1：

（I）证明：∵x＞0，∴ f(x)=

，x≥1

-1，0＜x＜1.

∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上是增函数．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得 0＜a＜1＜b和

-1=1-

，即

=2 ．
∴2ab=a+b＞ 2

．…（3分）
故

＞1 ，即ab＞1．…（4分）
（II）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y= f(x)=|1-

| 的定义域、值域都是[a，b]，
则a＞0， f(x)=

，x≥1

-1，0＜x＜1.

①当a，b∈（0，1）时， f(x)=

-1 在（0，1）上为减函数．
故

f(a)=b

f(b)=a.

，即

-1=b

-1=a.

，解得a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（6分）
②当a，b∈[1，+∞）时， f(x)=1-

在（1，+∞）上是增函数．
故

f(a)=a

f(b)=b.

，即

=b.

此时a，b是方程x² -x+1=0的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．…（8分）
③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0?[a，b]，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b．…（10分）
（III）若存在实数a，b（a＜b），使得函数y=f（x）的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a＞0，m＞0．
①当a，b∈（0，1）时，由于f（x）在（0，1）上是减函数，故

-1=mb

-1=ma.

．
此时刻得a，b异号，不符合题意，所以a，b不存在．
②当a∈（0，1）或b∈[1，+∞）时，由（ II）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有a，b∈[1，+∞）．
∵ f(x)=|1-

| 在[1，+∞）上是增函数，
∴

f(a)=ma

f(b)=mb.

，即

=ma

=mb.