解答：解：（1）∵f（x）=x2+mx-4在区间[-2，1]上的两个端点处取得最大值和最小值，
∴函数在区间[-2，1]上是单调函数，
又∵函数f（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=-
m 2
∴必有-
≥1，或-m 2
≤-2，解得m≥4或 m≤-2，m 2
∴实数m的所有取值组成的集合A={m|m≥4或 m≤-2}；
（2）当 m≥4时，-
≤-2，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递增，m 2
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（1）=m-3；
当m≤-2 时，-
≥1，函数f（x）在区间[-2，1]上单调递减，m 2
∴函数f（x）的最大值g（m）=f（-2）=-2m．
（3）由题意可知F（m）=
，
m-3，m≥4 -2m，m≤-2 -
m2+1 2
m+7，-2＜m＜41 2
关于m的方程F（m）=a恰有两个不相等的实数根等价于y=F（m）的图象与y=a的图象有两个不同的交点，
作图可知实数a的取值范围为：a＞
或1＜a＜457 8
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