面包币 > 已知（x+y+z） 2 ≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为______

已知（x+y+z） 2 ≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为______

已知（x+y+z） 2 ≥n（xy+yz+zx），n能取的最大值为______．

2025-05-07 22:23:04

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回答1：

（x+y+z）² =x² +y² +z² +2xy+2yz+2zx≥n（xy+yz+zx），
（x² +y² +z² ）≥（n-2）（xy+yz+zx）（1），
因为x² +y² ≥2xy，
y² +z² ≥2yz，
z² +x² ≥2zx，
即2（x² +y² +z² ）≥2（xy+yz+zx），
（x² +y² +z² ）≥（xy+yz+zx）（2）
由（1）（2）可知，要使（1）恒成立，只需使
（xy+yz+zx）≥（n-2）（xy+yz+zx），
xy+yz+zx=0时，等号恒成立，n可以取全体实数R，
xy+yz+zx＞0时，1≥n-2，n最大取3，
xy+yz+zx＜0时，1≤n-2，n最小取3．
故答案为：3．