解答：（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，
∵BC∥AD，BC＝
AD，E为AD中点，∴AE∥BC，且AE=BC．1 2
∴四边形ABCE为平行四边形，则O为AC中点．
又F为PC中点，∴OF∥PA．∵OF?平面BEF，PA?平面BEF．∴PA∥平面BEF．
（Ⅱ）解：∵PA=PD，E为AD中点，∴PE⊥AD．
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，PE?平面PAD，∴PE⊥平面ABCD．
易知 BCDE为正方形，∴AD⊥BE．
建立如图空间直角坐标系E-xyz，
设PE=t（t＞0），
则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，t），C（-1，1，0）
∴
＝(?1，1，?t)，PC
＝(?1，1，0)．
AB
∵PC与AB所成角为45°，
∴|cos＜
，PC
|＝|
AB＞
|=|
?
PC
AB |
||
PC
|
AB
|(?1)×(?1)+1×1+(?t)×0
×
2+t2
2
=cos45°＝
，
2
2
解得：t＝
，∴PE＝
2
．
2
（Ⅲ）解：∵F为PC的中点，所以F＝(?
，1 2
，1 2
)，
2
2
＝(0，1，0)，
EB
＝(?
EF
，1 2
，1 2
)，
2
2
设
＝(x，y，z)是平面BEF的法向量，
n
则
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