不定积分ln（1+x）⼀根号xdx

ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。

∫ln(1+x)/√x dx

=2∫ln(1+x)d√x 

=2ln(1+x)*√x -2∫√x dln(1+x)

=2ln(1+x)*√x -2∫√x /(1+x)dx

对于∫√x /(x+1)dx令√x=t,x=t^2,

dx=2tdt∫√x /(1+x)dx

=∫t/(t^2+x)*2tdt

=2∫[1-1/(t^2+x)

所以ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。

∫ln(1+x)/√x dx

=2∫ln(1+x)d√x 

=2ln(1+x)*√x -2∫√x dln(1+x)

=2ln(1+x)*√x -2∫√x /(1+x)dx

对于∫√x /(x+1)dx令√x=t,x=t^2,

dx=2tdt∫√x /(1+x)dx

=∫t/(t^2+x)*2tdt

=2∫[1-1/(t^2+x)

所以ln（1+x）/根号xdx的不定积分是2∫[1-1/(t^2+x)。

扩展资料：

1、分部积分法的形式

（1）通过对u(x)求微分后，du=u'dx中的u'比u更加简洁。

例：∫x^2*e^xdx=∫x^2de^x=x^2*e^x-∫e^xdx^2=x^2*e^x-∫2x*e^xdx

（2）利用有些函数经一次或二次求微分后不变的性质来进行分部积分。

例：∫e^x*sinxdx=∫sinxde^x=e^x*sinx-∫e^xdsinx=e^x*sinx-∫e^x*cosxdx

=e^x*sinx-∫cosxde^x=e^x*sinx-e^x*cosx+∫e^xdcosx

=e^x*sinx-e^x*cosx-∫e^x*sinxdx

则2∫e^x*sinxdx=e^x*sinx-e^x*cosx，可得

∫e^x*sinxdx=1/2e^x*（sinx-cosx）+C

2、不定积分公式

∫mdx=mx+C、∫cosxdx=sinx+C、∫sinxdx=-cosx+C。

希望对你有所帮助

如图