已知函数 f(x)=(1- a x ) e x (x＞0) ，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（

2025-05-09 02:16:21

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回答1：

（Ⅰ） f′(x)=

x 2 -ax+a

x 2

e x ，…（3分）
当a=2时， f′(x)=

x 2 -2x+2

x 2

e x ， f′(1)=

1-2+2

1 2

× e 1 =e ，f（1）=-e，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，…（5分）
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），…（6分）
∴所求面积为

×2×|-2e|=2e ．…（7分）
（Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程x² -ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（8分）
则

△= a 2 -4a＞0

a＞0.

…（9分）
所以a＞4．…（10分）
设x₁ ，x₂ 为函数f（x）的极大值点和极小值点，
则x₁ +x₂ =a，x₁ x₂ =a，…（11分）
因为f（x₁ ）f（x₂ ）=e⁵ ，
所以

x 1 -a

x 1

e x 1 ×

x 2 -a

x 2

e x 2 = e 5 ，…（12分）
即

x 1 x 2 -a( x 1 + x 2 )+ a 2

x 1 x 2

e x 1 + x 2 = e 5 ，

a- a 2 + a 2

e a = e 5 ，e^a =e⁵ ，
解得a=5，此时f（x）有两个极值点，
所以a=5．…（14分）